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%      拓扑学
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%\chapter{拓扑学}

\section{拓扑空间(topological space)}
\begin{note}
	topology(摘抄自bing的英英解释)\par
	1.
	the study of the properties of geometric figures that are independent of size or shape and are not changed by stretching, bending, knotting, or twisting\par
	2.
	the family of all open subsets of a mathematical set, including the set itself and the empty set, which is closed under set union and finite intersection\par
	3.
	the anatomy of a part of the body\par
	4.
	the study of changes in topography that occur over time and, especially, of how such changes taking place in an area affect the history of that area\par
	5.
	the relationships between parts linked together in a system such as a computer network
\end{note}
从X到Y的函数也称为映射。
拓扑空间是一种数学结构（mathematical structure），数学结构是一种关系结构，确切说，拓扑是集合上的一种结构。度量空间是一种特殊的拓扑空间，费雷歇(Fr\'{e}chet)将欧几里得空间的距离概念抽象化，于1906年定义了度量空间。
\begin{definition}{度量空间(metric space)}{int}
	$\mathbb{X}$是一个集合,$\mathbb{R}$是实数集,$d:\mathbb{X} \times \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{R}$是$\mathbb{X} \times \mathbb{X}$到$\mathbb{R}$的映射，如果对于任意$x,y,z \in \mathbb{X}$，有\\
	(1) 正定性(positive definite)：$d(x,y) \geq 0$，且$d(x,y) =0 \Leftrightarrow x=y$;\\
	(2) 对称性(symmetry)：$d(x,y)=d(y,x)$;\\
	(3) 三角不等式(the triangle inequality)：$d(x,y)+d(y,z) \geq d(x,z)$;\\
	则称d是$\mathbb{X}$的一个度量，称$(\mathbb{X},d)$是一个度量空间，称实数$d(x,y)$为x到y的距离。
\end{definition}

\begin{definition}{离散度量空间(discrete spaces)}{int}
	$\left( \mathbb{X} ,d \right) $是一个度量空间，若对于每一个$x \in \mathbb{X} $存在实数$\delta_x > 0$,使得对于任意
	$ y \in \mathbb{X} ,y \neq x$，有$d(x,y) > \delta_x$，则称此度量空间是离散度量空间。
\end{definition}

\begin{definition}{拓扑空间(topological space)}{int}
	$ \mathbb{X} $是一个集合，$ \tau $是$ \mathbb{X} $的一个子集族，如果$\tau$满足下列条件：\\
	(1) $\mathbb{X},\emptyset \in \tau$;\\
	(2) $A,B \in \tau\Rightarrow A \cap B \in \tau$;\\
	(3) $\tau_1 \subset \tau \Rightarrow \underset{A \in \tau_1}{\cup} A \in \tau$;\\
	则称$\tau$是集合 $\mathbb{X}$的一个拓扑，称$(\tau,\mathbb{X})$是一个拓扑空间。$\tau$ 中每一个元素称为$(\tau,\mathbb{X})$中的开集(open set)。
\end{definition}
开集定义就是拓扑空间定义。

\begin{definition}{闭集和闭包(closed set)}{int}
	开集的补集称为闭集。
\end{definition}

\begin{definition}{平凡拓扑(trivial topology)}{int}
	X是一个集合，令$ \Gamma = \{ X, \varPhi \}$，则$\Gamma $是X的一个拓扑，称此类拓扑为平凡拓扑。
\end{definition}

\begin{definition}{离散拓扑(discrete topology)}{int}
	X是一个集合，令$ \Gamma = \rho (X) $为X的幂集，则$\Gamma $是X的一个拓扑，称此类拓扑为离散拓扑。
\end{definition}
离散拓扑是最细拓扑，平凡拓扑是最粗的拓扑。
